Les entiers mod \(n\) sont devenus indispensables dans la théorie et les applications de l’algèbre. En mathématiques, ils sont utilisés en cryptographie, en théorie des codes et dans la détection d’erreurs dans les codes d’identification.
Nous avons déjà vu que deux entiers \(a\) et \(b\) sont équivalents mod \(n\) si \(n\) divise \(a - b\text{.}\) Les entiers mod \(n\) partitionnent aussi \({\mathbb Z}\) en \(n\) classes d’équivalence distinctes ; nous noterons l’ensemble de ces classes d’équivalence par \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Considérons les entiers modulo \(12\) et la partition correspondante des entiers :
Quand aucune confusion n’est possible, nous utiliserons \(0, 1, \ldots, 11\) pour désigner les classes d’équivalence \({[0]}, {[1]}, \ldots, {[11]}\) respectivement. On peut effectuer des opérations arithmétiques dans \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Pour deux entiers \(a\) et \(b\text{,}\) on définit l’addition modulo \(n\) comme étant \((a + b) \pmod{n}\) ; c’est-à-dire le reste de la division de \(a + b\) par \(n\text{.}\) De même, la multiplication modulo \(n\) est définie comme \((a b) \pmod{ n}\text{,}\) le reste de la division de \(a b\) par \(n\text{.}\)
La plupart, mais pas toutes, des lois arithmétiques habituelles sont valables pour l’addition et la multiplication dans \({\mathbb Z}_n\text{.}\) Par exemple, il n’est pas nécessairement vrai qu’il existe un inverse multiplicatif. Considérons la table de multiplication pour \({\mathbb Z}_8\) dans la Figure 3.1.3. Remarquez que \(2\text{,}\)\(4\) et \(6\) n’ont pas d’inverse multiplicatif ; c’est-à-dire que pour \(n = 2\text{,}\)\(4\) ou \(6\text{,}\) il n’existe pas d’entier \(k\) tel que \(k n \equiv 1 \pmod{ 8}\text{.}\)
Soit \(a\) un entier non nul. Alors \(\gcd(a,n) = 1\) si et seulement s’il existe un inverse multiplicatif \(b\) pour \(a \pmod{n}\) ; c’est-à-dire un entier non nul \(b\) tel que
\begin{equation*}
a b \equiv 1 \pmod{ n}\text{.}
\end{equation*}
(1) L’addition et la multiplication sont commutatives modulo \(n\) car le reste de la division de \(a + b\) par \(n\) est le même que celui de \(b + a\) divisé par \(n\text{.}\)
(6) Supposons que \(\gcd(a, n) = 1\text{.}\) Il existe alors des entiers \(r\) et \(s\) tels que \(ar + ns = 1\text{.}\) Puisque \(ns = 1 - ar\text{,}\) on doit avoir \(ar \equiv 1 \pmod{n}\text{.}\) En prenant \(b\) comme la classe d’équivalence de \(r\text{,}\) on obtient \(a b \equiv 1\pmod{n}\text{.}\)
Réciproquement, supposons qu’il existe un entier \(b\) tel que \(ab \equiv 1 \pmod{ n}\text{.}\) Alors \(n\) divise \(ab -1\text{,}\) donc il existe un entier \(k\) tel que \(ab - nk = 1\text{.}\) Posons \(d = \gcd(a,n)\text{.}\) Puisque \(d\) divise \(ab - nk\text{,}\)\(d\) doit aussi diviser \(1\) ; donc \(d = 1\text{.}\)
Une symétrie d’une figure géométrique est un réarrangement de la figure qui préserve la disposition de ses côtés et de ses sommets, ainsi que ses distances et ses angles. Une application du plan dans lui-même qui préserve la symétrie d’un objet est appelée un mouvement rigide. Par exemple, si nous regardons le rectangle de la Figure 3.1.5, il est facile de voir qu’une rotation de \(180^{\circ}\) ou de \(360^{\circ}\) ramène un rectangle dans le plan avec la même orientation que le rectangle original et la même relation entre les sommets. Une réflexion du rectangle par rapport à l’axe vertical ou à l’axe horizontal peut aussi être vue comme une symétrie. En revanche, une rotation de \(90^{\circ}\) dans un sens ou dans l’autre ne peut pas être une symétrie, sauf si le rectangle est un carré.
Trouvons les symétries du triangle équilatéral \(\bigtriangleup ABC\text{.}\) Pour trouver une symétrie de \(\bigtriangleup ABC\text{,}\) nous devons d’abord examiner les permutations des sommets \(A\text{,}\)\(B\) et \(C\text{,}\) puis nous demander si une permutation se prolonge en une symétrie du triangle. Rappelons qu’une permutation d’un ensemble \(S\) est une application bijective \(\pi :S \rightarrow S\text{.}\) Les trois sommets ont \(3! = 6\) permutations, donc le triangle a au plus six symétries. Pour voir qu’il y a six permutations, observons qu’il y a trois possibilités pour le premier sommet, deux pour le second, et le sommet restant est déterminé par le placement des deux premiers. Nous avons donc \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6\) arrangements différents. Pour désigner la permutation des sommets d’un triangle équilatéral qui envoie \(A\) sur \(B\text{,}\)\(B\) sur \(C\) et \(C\) sur \(A\text{,}\) nous écrivons le tableau
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
A & B & C \\
B & C & A
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
Remarquez que cette permutation particulière correspond au mouvement rigide de rotation du triangle de \(120^{\circ}\) dans le sens des aiguilles d’une montre. En fait, chaque permutation donne naissance à une symétrie du triangle. Toutes ces symétries sont représentées dans la Figure 3.1.6.
Une question naturelle est de savoir ce qui se passe lorsqu’un mouvement du triangle \(\bigtriangleup ABC\) est suivi d’un autre. Quelle est la symétrie \(\mu_1 \rho_1\) ; c’est-à-dire que se passe-t-il lorsqu’on effectue la permutation \(\rho_1\) puis la permutation \(\mu_1\) ? Rappelons que nous composons des fonctions ici. Bien que nous multipliions habituellement de gauche à droite, nous composons les fonctions de droite à gauche. Nous avons
\begin{align*}
(\mu_1 \rho_1)(A) & = \mu_1( \rho_1( A ) ) = \mu_1( B ) = C\\
(\mu_1 \rho_1)(B) & = \mu_1( \rho_1( B ) ) = \mu_1( C ) = B\\
(\mu_1 \rho_1)(C) & = \mu_1( \rho_1( C ) ) = \mu_1( A ) = A\text{.}
\end{align*}
C’est la même symétrie que \(\mu_2\text{.}\) Supposons que nous effectuions ces mouvements dans l’ordre inverse, \(\mu_1\) puis \(\rho_1\text{.}\) Il est facile de vérifier que c’est la même chose que la symétrie \(\mu_3\) ; donc \(\rho_1 \mu_1 \neq \mu_1 \rho_1\text{.}\) Une table de multiplication pour les symétries d’un triangle équilatéral \(\bigtriangleup ABC\) est donnée dans la Figure 3.1.7.
Remarquez que dans la table de multiplication des symétries d’un triangle équilatéral, pour chaque mouvement du triangle \(\alpha\) il existe un autre mouvement \(\beta\) tel que \(\alpha \beta = \identity\) ; c’est-à-dire que pour chaque mouvement il existe un autre mouvement qui ramène le triangle à son orientation initiale.
