Exercices 9.4 Exercices
2.
Montrer que \({\mathbb C}^\ast\) est isomorphe au sous-groupe de \(GL_2( {\mathbb R} )\) constitué des matrices de la forme
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
a & b \\
-b & a
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
3.
Démontrer ou réfuter : \(U(8) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}\)
4.
Montrer que \(U(8)\) est isomorphe au groupe de matrices
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}\text{.}
\end{equation*}
5.
6.
7.
8.
9.
Soit \(G = {\mathbb R} \setminus \{ -1 \}\) et définissons une opération binaire sur \(G\) par
\begin{equation*}
a \ast b = a + b + ab\text{.}
\end{equation*}
Montrer que \(G\) est un groupe pour cette opération. Montrer que \((G, *)\) est isomorphe au groupe multiplicatif des réels non nuls.
10.
Montrer que les matrices
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\\
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\quad
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{align*}
forment un groupe. Trouver un isomorphisme de \(G\) avec un groupe plus familier d’ordre \(6\text{.}\)
11.
Trouver cinq groupes non isomorphes d’ordre \(8\text{.}\)
12.
13.
Soit \(\omega = \cis(2 \pi /n)\) une racine primitive \(n\)-ième de l’unité. Montrer que les matrices
\begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
\omega & 0 \\
0 & \omega^{-1}
\end{pmatrix}
\quad \text{et} \quad
B =
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
engendrent un groupe multiplicatif isomorphe à \(D_n\text{.}\)
14.
Montrer que l’ensemble de toutes les matrices de la forme
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\pm 1 & k \\
0 & 1
\end{pmatrix}\text{,}
\end{equation*}
est un groupe isomorphe à \(D_n\text{,}\) où toutes les entrées de la matrice sont dans \({\mathbb Z}_n\text{.}\)
15.
Lister tous les éléments de \({\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_2\text{.}\)
16.
Trouver l’ordre de chacun des éléments suivants.
17.
Montrer que \(D_4\) ne peut pas être le produit direct interne de deux de ses sous-groupes propres.
18.
Montrer que le sous-groupe de \({\mathbb Q}^\ast\) constitué des éléments de la forme \(2^m 3^n\) pour \(m,n \in {\mathbb Z}\) est un produit direct interne isomorphe à \({\mathbb Z} \times {\mathbb Z}\text{.}\)
19.
Montrer que \(S_3 \times {\mathbb Z}_2\) est isomorphe à \(D_6\text{.}\) Peut-on formuler une conjecture sur \(D_{2n}\) ? Démontrer cette conjecture.
20.
Démontrer ou réfuter : Tout groupe abélien d’ordre divisible par \(3\) contient un sous-groupe d’ordre \(3\text{.}\)
21.
Démontrer ou réfuter : Tout groupe non abélien d’ordre divisible par 6 contient un sous-groupe d’ordre \(6\text{.}\)
22.
Soit \(G\) un groupe d’ordre \(20\text{.}\) Si \(G\) possède des sous-groupes \(H\) et \(K\) d’ordres \(4\) et \(5\) respectivement tels que \(hk = kh\) pour tout \(h \in H\) et \(k \in K\text{,}\) montrer que \(G\) est le produit direct interne de \(H\) et \(K\text{.}\)
23.
Démontrer ou réfuter l’assertion suivante. Soient \(G\text{,}\) \(H\) et \(K\) des groupes. Si \(G \times K \cong H \times K\text{,}\) alors \(G \cong H\text{.}\)
24.
Démontrer ou réfuter : Il existe un groupe abélien non cyclique d’ordre \(51\text{.}\)
25.
Démontrer ou réfuter : Il existe un groupe abélien non cyclique d’ordre \(52\text{.}\)
26.
Soit \(\phi : G \rightarrow H\) un isomorphisme de groupes. Montrer que \(\phi( x) = e_H\) si et seulement si \(x=e_G\text{,}\) où \(e_G\) et \(e_H\) sont les éléments neutres de \(G\) et \(H\text{,}\) respectivement.
27.
28.
Montrer que tout groupe \(G\) d’ordre \(p\text{,}\) \(p\) premier, est nécessairement isomorphe à \({\mathbb Z}_p\text{.}\)
29.
30.
31.
Soient \(\phi : G_1 \rightarrow G_2\) et \(\psi : G_2 \rightarrow G_3\) des isomorphismes. Montrer que \(\phi^{-1}\) et \(\psi \circ \phi\) sont tous deux des isomorphismes. En utilisant ces résultats, montrer que l’isomorphisme de groupes définit une relation d’équivalence sur la classe de tous les groupes.
32.
Montrer que \(U(5) \cong {\mathbb Z}_4\text{.}\) Peut-on généraliser ce résultat pour \(U(p)\text{,}\) où \(p\) est premier ?
33.
Écrire les permutations associées à chaque élément de \(S_3\) dans la démonstration du théorème de Cayley.
34.
Un automorphisme d’un groupe \(G\) est un isomorphisme de \(G\) sur lui-même. Montrer que la conjugaison complexe est un automorphisme du groupe additif des nombres complexes ; c’est-à-dire montrer que l’application \(\phi( a + bi ) = a - bi\) est un isomorphisme de \({\mathbb C}\) sur \({\mathbb C}\text{.}\)
35.
36.
Montrer que \(A \mapsto B^{-1}AB\) est un automorphisme de \(SL_2({\mathbb R})\) pour tout \(B\) dans \(GL_2({\mathbb R})\text{.}\)
37.
On notera l’ensemble de tous les automorphismes de \(G\) par \(\aut(G)\text{.}\) Montrer que \(\aut(G)\) est un sous-groupe de \(S_G\text{,}\) le groupe des permutations de \(G\text{.}\)
38.
Trouver \(\aut( {\mathbb Z}_6)\text{.}\)
39.
Trouver \(\aut( {\mathbb Z})\text{.}\)
40.
41.
Soit \(G\) un groupe et \(g \in G\text{.}\) Définir une application \(i_g : G \rightarrow G\) par \(i_g(x) = g x g^{-1}\text{.}\) Montrer que \(i_g\) définit un automorphisme de \(G\text{.}\) Un tel automorphisme est appelé un automorphisme intérieur. L’ensemble de tous les automorphismes intérieurs est noté \(\inn(G)\text{.}\)
42.
43.
Quels sont les automorphismes intérieurs du groupe des quaternions \(Q_8\) ? A-t-on \(\inn(G) = \aut(G)\) dans ce cas ?
44.
Soit \(G\) un groupe et \(g \in G\text{.}\) Définir des applications \(\lambda_g :G \rightarrow G\) et \(\rho_g :G \rightarrow G\) par \(\lambda_g(x) = gx\) et \(\rho_g(x) = xg^{-1}\text{.}\) Montrer que \(i_g = \rho_g \circ \lambda_g\) est un automorphisme de \(G\text{.}\) L’isomorphisme \(g \mapsto \rho_g\) est appelé la représentation régulière à droite de \(G\text{.}\)
45.
Soit \(G\) le produit direct interne des sous-groupes \(H\) et \(K\text{.}\) Montrer que l’application \(\phi : G \rightarrow H \times K\) définie par \(\phi(g) = (h,k)\) pour \(g =hk\text{,}\) où \(h \in H\) et \(k \in K\text{,}\) est injective et surjective.
46.
Soient \(G\) et \(H\) des groupes isomorphes. Si \(G\) possède un sous-groupe d’ordre \(n\text{,}\) montrer que \(H\) doit aussi posséder un sous-groupe d’ordre \(n\text{.}\)
47.
Si \(G \cong \overline{G}\) et \(H \cong \overline{H}\text{,}\) montrer que \(G \times H \cong \overline{G} \times \overline{H}\text{.}\)
48.
49.
Soient \(n_1, \ldots, n_k\) des entiers positifs. Montrer que
\begin{equation*}
\prod_{i=1}^k {\mathbb Z}_{n_i} \cong {\mathbb Z}_{n_1 \cdots n_k}
\end{equation*}
si et seulement si \(\gcd( n_i, n_j) =1\) pour \(i \neq j\text{.}\)
50.
51.
Si \(G\) est le produit direct interne de \(H_1, H_2, \ldots, H_n\text{,}\) montrer que \(G\) est isomorphe à \(\prod_i H_i\text{.}\)
52.
Soient \(H_1\) et \(H_2\) des sous-groupes de \(G_1\) et \(G_2\text{,}\) respectivement. Montrer que \(H_1 \times H_2\) est un sous-groupe de \(G_1 \times G_2\text{.}\)
53.
Soient \(m, n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Montrer que \(\langle m,n \rangle = \langle d \rangle\) si et seulement si \(d = \gcd(m,n)\text{.}\)
54.
Soient \(m, n \in {\mathbb Z}\text{.}\) Montrer que \(\langle m \rangle \cap \langle n \rangle = \langle l \rangle\) si et seulement si \(l = \lcm(m,n)\text{.}\)
55. Groupes d’ordre \(2p\).
Dans cette série d’exercices, nous allons classer tous les groupes d’ordre \(2p\text{,}\) où \(p\) est un nombre premier impair.
-
Supposer que \(G\) est un groupe d’ordre \(2p\text{,}\) où \(p\) est un nombre premier impair. Si \(a \in G\text{,}\) montrer que \(a\) doit être d’ordre \(1\text{,}\) \(2\text{,}\) \(p\) ou \(2p\text{.}\)
-
Supposer que \(G\) possède un élément d’ordre \(2p\text{.}\) Montrer que \(G\) est isomorphe à \({\mathbb Z}_{2p}\text{.}\) Donc \(G\) est cyclique.
-
Supposer que \(G\) ne contient pas d’élément d’ordre \(2p\text{.}\) Montrer que \(G\) doit contenir un élément d’ordre \(p\text{.}\) Indication : Supposer que \(G\) ne contient pas d’élément d’ordre \(p\text{.}\)
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Supposer que \(G\) ne contient pas d’élément d’ordre \(2p\text{.}\) Montrer que \(G\) doit contenir un élément d’ordre \(2\text{.}\)
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Soit \(P\) un sous-groupe de \(G\) d’ordre \(p\) et soit \(y \in G\) d’ordre \(2\text{.}\) Montrer que \(yP = Py\text{.}\)
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Supposer que \(G\) ne contient pas d’élément d’ordre \(2p\) et que \(P = \langle z \rangle\) est un sous-groupe d’ordre \(p\) engendré par \(z\text{.}\) Si \(y\) est un élément d’ordre \(2\text{,}\) alors \(yz = z^ky\) pour un certain \(2 \leq k \lt p\text{.}\)
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Supposer que \(G\) ne contient pas d’élément d’ordre \(2p\text{.}\) Montrer que \(G\) n’est pas abélien.
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Supposer que \(G\) ne contient pas d’élément d’ordre \(2p\) et que \(P = \langle z \rangle\) est un sous-groupe d’ordre \(p\) engendré par \(z\) et que \(y\) est un élément d’ordre \(2\text{.}\) Montrer que l’on peut lister les éléments de \(G\) comme \(\{z^iy^j\mid 0\leq i \lt p, 0\leq j \lt 2\}\text{.}\)
-
Supposer que \(G\) ne contient pas d’élément d’ordre \(2p\) et que \(P = \langle z \rangle\) est un sous-groupe d’ordre \(p\) engendré par \(z\) et que \(y\) est un élément d’ordre \(2\text{.}\) Montrer que le produit \((z^iy^j)(z^ry^s)\) peut s’exprimer de manière unique comme \(z^m y^n\) pour certains entiers non négatifs \(m, n\text{.}\) Conclure ainsi qu’il n’existe qu’une seule possibilité pour un groupe non abélien d’ordre \(2p\text{,}\) qui doit donc être celui que nous avons déjà rencontré, le groupe diédral.
