Le but de cette section est de prouver le théorème fondamental de la théorie de Galois. Ce théorème explique le lien entre les sous-groupes de
\(G(E/F)\) et les corps intermédiaires entre
\(E\) et
\(F\text{.}\)
Démonstration.
Soient \(\sigma_i(a) = a\) et \(\sigma_i(b)=b\text{.}\) Alors
\begin{equation*}
\sigma_i(a \pm b) = \sigma_i(a) \pm \sigma_i(b) = a \pm b
\end{equation*}
et
\begin{equation*}
\sigma_i(a b) = \sigma_i(a) \sigma_i(b) = a b\text{.}
\end{equation*}
Si \(a \neq 0\text{,}\) alors \(\sigma_i(a^{-1}) = [\sigma_i(a)]^{-1} = a^{-1}\text{.}\) Enfin, \(\sigma_i(0) = 0\) et \(\sigma_i(1)=1\) puisque \(\sigma_i\) est un automorphisme.
Démonstration.
Soit \(|G| = n\text{.}\) Nous devons montrer que tout ensemble de \(n + 1\) éléments \(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n + 1}\) dans \(E\) est linéairement dépendant sur \(F\) ; c’est-à-dire que nous devons trouver des éléments \(a_i \in F\text{,}\) non tous nuls, tels que
\begin{equation*}
a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + \cdots + a_{n + 1} \alpha_{n + 1} = 0\text{.}
\end{equation*}
Supposons que \(\sigma_1 = \identity, \sigma_2, \ldots, \sigma_n\) soient les automorphismes de \(G\text{.}\) Le système homogène d’équations linéaires
\begin{align*}
\sigma_1( \alpha_1 ) x_1 + \sigma_1(\alpha_2) x_2 + \cdots + \sigma_1(\alpha_{n + 1} ) x_{n + 1} & = 0\\
\sigma_2( \alpha_1 ) x_1 + \sigma_2(\alpha_2) x_2 + \cdots + \sigma_2(\alpha_{n + 1} ) x_{n + 1} & = 0\\
& \vdots &\\
\sigma_n( \alpha_1 ) x_1 + \sigma_n(\alpha_2) x_2 + \cdots + \sigma_n(\alpha_{n + 1} ) x_{n + 1} & = 0
\end{align*}
a plus d’inconnues que d’équations. D’après l’algèbre linéaire, nous savons que ce système admet une solution non triviale, disons \(x_i = a_i\) pour \(i = 1, 2, \ldots, n + 1\text{.}\) Puisque \(\sigma_1\) est l’identité, la première équation se traduit par
\begin{equation*}
a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + \cdots + a_{n + 1} \alpha_{n + 1} = 0\text{.}
\end{equation*}
Le problème est que certains des \(a_i\) peuvent être dans \(E\) mais pas dans \(F\text{.}\) Nous devons montrer que c’est impossible.
Supposons qu’au moins l’un des \(a_i\) soit dans \(E\) mais pas dans \(F\text{.}\) En réarrangeant les \(\alpha_i\text{,}\) nous pouvons supposer que \(a_1\) est non nul. Puisque tout multiple non nul d’une solution est aussi une solution, nous pouvons aussi supposer que \(a_1 = 1\text{.}\) Parmi toutes les solutions de ce type, nous choisissons celle qui a le plus petit nombre de termes non nuls. Encore une fois, en réarrangeant \(\alpha_2, \ldots, \alpha_{n + 1}\) si nécessaire, nous pouvons supposer que \(a_2\) est dans \(E\) mais pas dans \(F\text{.}\) Puisque \(F\) est le sous-corps de \(E\) qui est fixé élément par élément par \(G\text{,}\) il existe un \(\sigma_i\) dans \(G\) tel que \(\sigma_i( a_2 ) \neq a_2\text{.}\) En appliquant \(\sigma_i\) à chaque équation du système, nous obtenons le même système homogène, puisque \(G\) est un groupe. Donc \(x_1 = \sigma_i(a_1) = 1\text{,}\) \(x_2 = \sigma_i(a_2)\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(x_{n + 1} = \sigma_i(a_{n+1} )\) est aussi une solution du système original. Nous savons qu’une combinaison linéaire de deux solutions d’un système homogène est aussi une solution ; par conséquent,
\begin{align*}
x_1 & = 1 -1 = 0\\
x_2 & = a_2 - \sigma_i(a_2)\\
& \vdots &\\
x_{n + 1} & = a_{n + 1} - \sigma_i(a_{n + 1})
\end{align*}
doit être une autre solution du système. C’est une solution non triviale car \(\sigma_i( a_2 ) \neq a_2\text{,}\) et elle a moins d’entrées non nulles que notre solution originale. C’est une contradiction, puisque le nombre de solutions non nulles à notre solution originale était supposé minimal. Nous pouvons donc conclure que \(a_1, \ldots, a_{n + 1} \in F\text{.}\)
Soit
\(E\) une extension algébrique de
\(F\text{.}\) Si tout polynôme irréductible de
\(F[x]\) ayant une racine dans
\(E\) a toutes ses racines dans
\(E\text{,}\) alors
\(E\) est appelée une
extension normale de
\(F\) ; c’est-à-dire que tout polynôme irréductible de
\(F[x]\) ayant une racine dans
\(E\) est le produit de facteurs linéaires dans
\(E[x]\text{.}\)
Démonstration.
(1)
\(\Rightarrow\) (2). Soit
\(E\) une extension finie, normale, séparable de
\(F\text{.}\) Par le théorème de l’élément primitif, nous pouvons trouver un
\(\alpha\) dans
\(E\) tel que
\(E = F(\alpha)\text{.}\) Soit
\(f(x)\) le polynôme minimal de
\(\alpha\) sur
\(F\text{.}\) Le corps
\(E\) doit contenir toutes les racines de
\(f(x)\) puisqu’il est une extension normale de
\(F\) ; donc
\(E\) est un corps de décomposition de
\(f(x)\text{.}\)
(2)
\(\Rightarrow\) (3). Soit
\(E\) le corps de décomposition sur
\(F\) d’un polynôme séparable. Par la
Proposition 23.2.4,
\(E_{G(E/F)} = F\text{.}\) Puisque
\(| G(E/F)| = [E:F]\text{,}\) c’est un groupe fini.
(3)
\(\Rightarrow\) (1). Soit
\(F = E_G\) pour un certain groupe fini d’automorphismes
\(G\) de
\(E\text{.}\) Puisque
\([E:F] \leq |G|\text{,}\) \(E\) est une extension finie de
\(F\text{.}\) Pour montrer que
\(E\) est une extension finie et normale de
\(F\text{,}\) soit
\(f(x) \in F[x]\) un polynôme unitaire irréductible qui a une racine
\(\alpha\) dans
\(E\text{.}\) Nous devons montrer que
\(f(x)\) est le produit de facteurs linéaires distincts dans
\(E[x]\text{.}\) Par la
Proposition 23.1.5, les automorphismes de
\(G\) permutent les racines de
\(f(x)\) qui se trouvent dans
\(E\text{.}\) Ainsi, si nous faisons agir
\(G\) sur
\(\alpha\text{,}\) nous pouvons obtenir des racines distinctes
\(\alpha_1 = \alpha, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) dans
\(E\text{.}\) Soit
\(g(x) = \prod_{i = 1}^{n} (x -\alpha_i)\text{.}\) Alors
\(g(x)\) est séparable sur
\(F\) et
\(g( \alpha ) = 0\text{.}\) Tout automorphisme
\(\sigma\) de
\(G\) permute les facteurs de
\(g(x)\) puisqu’il permute ces racines ; donc, lorsque
\(\sigma\) agit sur
\(g(x)\text{,}\) il fixe les coefficients de
\(g(x)\text{.}\) Par conséquent, les coefficients de
\(g(x)\) doivent être dans
\(F\text{.}\) Puisque
\(\deg g(x) \leq \deg f(x)\) et
\(f(x)\) est le polynôme minimal de
\(\alpha\text{,}\) \(f(x) = g(x)\text{.}\)
Démonstration.
Puisque \(F = K_G\text{,}\) \(G\) est un sous-groupe de \(G(K/F)\text{.}\) Donc,
\begin{equation*}
[K : F ] \leq |G| \leq |G(K/F)| = [K:F]\text{.}
\end{equation*}
Il s’ensuit que \(G = G(K/F)\text{,}\) puisqu’ils doivent avoir le même ordre.
Démonstration.
(1) Supposons que
\(G(E/K) = G(E/L) = G\text{.}\) \(K\) et
\(L\) sont tous deux des corps fixes de
\(G\) ; donc
\(K=L\) et l’application définie par
\(K \mapsto G(E/K)\) est injective. Pour montrer que l’application est surjective, soit
\(G\) un sous-groupe de
\(G(E/F)\) et
\(K\) le corps fixé par
\(G\text{.}\) Alors
\(F \subset K \subset E\) ; par conséquent,
\(E\) est une extension normale de
\(K\text{.}\) Ainsi,
\(G(E/K) = G\) et l’application
\(K \mapsto G(E/K)\) est une bijection.
\begin{equation*}
|G(E/F)| = [G(E/F):G(E/K)] \cdot |G(E/K)| = [E:F] = [E:K][K:F]\text{.}
\end{equation*}
Ainsi, \([K:F] = [G(E/F):G(E/K)]\text{.}\)
L’énoncé (3) est illustré à la
Figure 23.2.11. Nous laissons la preuve de cette propriété en exercice.
(4) Cette partie demande un peu plus de travail. Soit
\(K\) une extension normale de
\(F\text{.}\) Si
\(\sigma\) est dans
\(G(E/F)\) et
\(\tau\) est dans
\(G(E/K)\text{,}\) nous devons montrer que
\(\sigma^{-1} \tau \sigma\) est dans
\(G(E/K)\) ; c’est-à-dire que nous devons montrer que
\(\sigma^{-1} \tau \sigma( \alpha) = \alpha\) pour tout
\(\alpha \in K\text{.}\) Supposons que
\(f(x)\) soit le polynôme minimal de
\(\alpha\) sur
\(F\text{.}\) Alors
\(\sigma( \alpha )\) est aussi une racine de
\(f(x)\) dans
\(K\text{,}\) puisque
\(K\) est une extension normale de
\(F\text{.}\) Donc
\(\tau( \sigma( \alpha )) = \sigma( \alpha )\) ou
\(\sigma^{-1} \tau \sigma( \alpha) = \alpha\text{.}\)
Réciproquement, soit \(G(E/K)\) un sous-groupe normal de \(G(E/F)\text{.}\) Nous devons montrer que \(F = K_{G(K/F)}\text{.}\) Soit \(\tau \in G(E/K)\text{.}\) Pour tout \(\sigma \in G(E/F)\) il existe un \(\overline{\tau} \in G(E/K)\) tel que \(\tau \sigma = \sigma \overline{\tau}\text{.}\) Par conséquent, pour tout \(\alpha \in K\)
\begin{equation*}
\tau( \sigma( \alpha ) ) = \sigma( \overline{\tau}( \alpha ) ) = \sigma( \alpha ) ;
\end{equation*}
donc \(\sigma( \alpha )\) doit être dans le corps fixe de \(G(E/K)\text{.}\) Soit \(\overline{\sigma}\) la restriction de \(\sigma\) à \(K\text{.}\) Alors \(\overline{\sigma}\) est un automorphisme de \(K\) fixant \(F\text{,}\) puisque \(\sigma( \alpha ) \in K\) pour tout \(\alpha \in K\) ; donc \(\overline{\sigma} \in G(K/F)\text{.}\) Ensuite, nous allons montrer que le corps fixe de \(G(K/F)\) est \(F\text{.}\) Soit \(\beta\) un élément de \(K\) fixé par tous les automorphismes de \(G(K/F)\text{.}\) En particulier, \(\overline{\sigma}(\beta) = \beta\) pour tout \(\sigma \in G(E/F)\text{.}\) Donc \(\beta\) appartient au corps fixe \(F\) de \(G(E/F)\text{.}\)
Enfin, nous devons montrer que lorsque \(K\) est une extension normale de \(F\text{,}\)
\begin{equation*}
G(K/F) \cong G(E/F) / G(E/K)\text{.}
\end{equation*}
Pour \(\sigma \in G(E/F)\text{,}\) soit \(\sigma_K\) l’automorphisme de \(K\) obtenu en restreignant \(\sigma\) à \(K\text{.}\) Puisque \(K\) est une extension normale, l’argument du paragraphe précédent montre que \(\sigma_K \in G( K/F)\text{.}\) Par conséquent, nous avons une application \(\phi:G(E/F) \rightarrow G(K/F)\) définie par \(\sigma \mapsto \sigma_K\text{.}\) Cette application est un homomorphisme de groupes puisque
\begin{equation*}
\phi( \sigma \tau ) = (\sigma \tau)_K = \sigma_K \tau_K = \phi( \sigma) \phi( \tau )\text{.}
\end{equation*}
Le noyau de \(\phi\) est \(G(E/K)\text{.}\) Par (2),
\begin{equation*}
|G(E/F)| / |G(E/K)| = [K:F] = |G(K/F)|\text{.}
\end{equation*}
Donc l’image de \(\phi\) est \(G(K/F)\) et \(\phi\) est surjective. En appliquant le premier théorème d’isomorphisme, nous obtenons
\begin{equation*}
G(K/F) \cong G(E/F) / G( E/K )\text{.}
\end{equation*}
Exemple 23.2.12.
Dans cet exemple, nous allons illustrer le théorème fondamental de la théorie de Galois en déterminant le treillis des sous-groupes du groupe de Galois de
\(f(x) = x^4 - 2\text{.}\) Nous comparerons ce treillis au treillis des extensions de corps de
\({\mathbb Q}\) contenues dans le corps de décomposition de
\(x^4-2\text{.}\) Le corps de décomposition de
\(f(x)\) est
\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\text{.}\) Pour le voir, notons que
\(f(x)\) se factorise en
\((x^2 + \sqrt{2}\, )(x^2 - \sqrt{2}\, )\) ; donc les racines de
\(f(x)\) sont
\(\pm \sqrt[4]{2}\) et
\(\pm \sqrt[4]{2}\, i\text{.}\) Nous adjoignons d’abord la racine
\(\sqrt[4]{2}\) à
\({\mathbb Q}\text{,}\) puis nous adjoignons la racine
\(i\) de
\(x^2 + 1\) à
\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )\text{.}\) Le corps de décomposition de
\(f(x)\) est alors
\({\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )(i) = {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\text{.}\)
Puisque \([ {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}\, ) : {\mathbb Q}] = 4\) et \(i\) n’est pas dans \({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}\, )\text{,}\) il s’ensuit que \([ {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i ): {\mathbb Q}(\sqrt[4]{2}\, )] = 2\text{.}\) Donc \([ {\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i ):{\mathbb Q}] = 8\text{.}\) L’ensemble
\begin{equation*}
\{ 1, \sqrt[4]{2}, (\sqrt[4]{2}\, )^2, (\sqrt[4]{2}\, )^3, i, i \sqrt[4]{2}, i (\sqrt[4]{2}\, )^2, i(\sqrt[4]{2}\, )^3 \}
\end{equation*}
est une base de
\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i )\) sur
\({\mathbb Q}\text{.}\) Le treillis des extensions de corps de
\({\mathbb Q}\) contenues dans
\({\mathbb Q}( \sqrt[4]{2}, i)\) est illustré à la
Figure 23.2.13(a).
Le groupe de Galois
\(G\) de
\(f(x)\) doit être d’ordre
\(8\text{.}\) Soit
\(\sigma\) l’automorphisme défini par
\(\sigma( \sqrt[4]{2}\, ) = i \sqrt[4]{2}\) et
\(\sigma( i ) = i\text{,}\) et
\(\tau\) l’automorphisme défini par la conjugaison complexe ; c’est-à-dire
\(\tau(i ) = -i\text{.}\) Alors
\(G\) a un élément d’ordre
\(4\) et un élément d’ordre
\(2\text{.}\) Il est facile de vérifier par calcul direct que les éléments de
\(G\) sont
\(\{ \identity, \sigma, \sigma^2, \sigma^3, \tau, \sigma \tau, \sigma^2 \tau, \sigma^3 \tau \}\) et que les relations
\(\tau^2 = \identity\text{,}\) \(\sigma^4 = \identity\text{,}\) et
\(\tau \sigma \tau = \sigma^{-1}\) sont satisfaites ; donc
\(G\) est isomorphe à
\(D_4\text{.}\) Le treillis des sous-groupes de
\(G\) est illustré à la
Figure 23.2.13(b).
